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数学建模实践--共2个,协同完成

2019年06月28日 11:23  点击:[]


高等代数中的数学建模实例示范

 

案例1(货物交换的经济模型--知识点:线性方程组)

 

货物交换的经济模型:诺贝尔经济学奖获得者列昂杰夫(Leontief)考虑的一个经济学模型。 在一个原始部落, 根据分工, 人们分别从事 3 种劳动:农田耕作(记为 F)、农具与工具的制作(记为 M),  以及织物的编织(记为 C), 人们之间的贸易是实物交易。图 1 给出这 3 组人之间的交易系统, 图中所示表明, 农夫们将每年收获的一半留给自己, 并分别拿出1/ 4 给工匠们和织布者们;而工匠们却平均分配他们制作的用具给每个组;织布者们则留下 1/ 4 的衣物给自己, 并拿出 1/ 4 给工匠们、1/ 2 给农夫们。 此交易系统也可以用表给出, 见表 1

 

 

                                       

1 3 组人之间的交易系统

 

1   交易情况表

                

 

随着社会的发展, 实物交易形式变得十分不方便, 于是部落决定用货币进行交易。 假设没有资本和负债, 那么如何给每类产品定价使其公正地体现旧有的实物交易系统呢?

令x1 为农作物的价值, x2 为农具及工具的价, x3 为织物的价值, 那么由表 1 的第一行, 农夫们生产的价值应等于他们交换到的产品包括留给自己价值即有    

 

 

 

 

因此,该问题可归结为一个三元一次线性方程组的求解问题以此问题引出行列式使学生了解行列式与线性方程组的密切联系。   从简单的经济问题入手, 让学生了解知识的应用背景, 表明学习行列式是为生产实践服务的, 从而提高学生学习的积极性。

 

案例2(通信加密--矩阵的乘积与矩阵的逆)

加密技术在通信中有着重要的作用,加密 下:发送方采用某种算法,也就是密钥,将明文数据加密转化成密文数据后发送给接受方,接收方则可以采用对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。从矩阵的角度来解释就是,明文用矩阵 来表示,加密密钥为矩阵 ,则加密过程就是矩阵方程 AX =C ,密文是矩阵C ,解密密钥为矩阵B ,解密的过程为 =BC ,加密技术是否有效,关键在于能否还原成明文。

我们来分析一下这两个矩阵方程,看这两个密钥矩阵 A,B 之间的关系。由于 AX =C,X =BC ,则有ABC =C ,即AB =E ,所以在保密通信中,密钥只有一个,解密密钥是通过这个关系式 AB =E 的,也就是加密密钥和解密密钥互为逆矩阵B A-1 。比如,在2008年谍战 片《潜 伏》中,地下工作者余则成收到王翠平传递来的秘密消息,是20个 字,这 以用一个4行5列的矩阵来表示

 

约定26个英文字母对应1到26个 字,0表 格,27表示 号。约定好的密钥是

 

 

请问王翠平发来的密信是什么?

通过刚才的分析,现在想知道密信内容,就是要找到解密密钥,也就是约定好的密钥A 的逆矩阵,于是问题转换为逆矩阵的求解问题。计算|A|0,则方阵A 可逆,于是王翠平发来的信息就是

    

 

由英文字母与

 “ACCOMPLISH THETASK。

保密通信问题是当今信息时代发展的一个重要研究课题,实际的加密模型相当复杂,上面所举的例子只是为了说明逆矩阵应用的一个最简单的模型。

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